La topología de R'lyeh

Howard Phillips Lovecraft o más conocido como Lovecraft a secas. Prolífico escritor, creador del terror cósmico, portador de una fantasía que esbozaba sobre el papel mundos totalmente nuevos, criaturas que personifican los miedos y las miserias del alma humana. A cada página nueva que se lee salida de su mano, el corazón del lector se arrincona progresivamente en La montaña de la locura que cada uno tiene en su interior.

Su biografía está cargada de penas y soledades, desde la pérdida de su abuelo -quien influyó mucho en su interés sobre la literatura-, hasta el intento de suicidio que dicha pérdida le acarreó. Su mayor frustración fue seguramente el no poder dedicarse a la astronomía, su mayor afición. No era buen estudiante de matemáticas y eso le hacía sentir vergüenza. Aún así, la ciencia puede aparecer en cualquier rama de la vida y un profundo pozo de ideas es la literatura. Su ser más conocido es Cthulhu, el cual habitaba en R’lyeh, una ciudad ficticia sumergida en el Océano Pacífico. Lovecraft describió R’lyeh de esta manera:

“...llegaron a un litoral de lodo, fango y ciclópea mampostería que no podía ser otra cosa que la sustancia tangible del terror supremo de la tierra: la ciudad cadavérica y de pesadilla de R'lyeh, construida hacia incontables eones por repugnantes figuras que procedían de las estrellas sin luz. Allí yacían el Gran Cthulhu y sus hordas, ocultos bajo bóvedas cubiertas de fango verdoso; enviando de nuevo, tras incalculables ciclos temporales, aquellos pensamientos que extendían el miedo por los sueños de los más sensibles, a la vez que apremiaban a sus fieles a lanzarse en pos de un peregrinaje por su liberación y la restauración de su imperio en la tierra...”

"Uno no podía estar seguro de que el mar y el suelo fueran horizontales, de modo que la posición relativa de todo el resto parecía variar fantásticamente. "

“...aquel lugar onírico que vio era anormal, no euclidiana y asquerosamente impregnada de sensaciones de otras esferas y dimensiones distintas de la nuestra...”

Fuente: La llamada de Cthulhu

Aquí es donde uno llega y piensa: “¿Dónde cefalópodos está la ciencia aquí?” ¡En todos lados hay ideas! Se habla de estrellas sin luz, de eones, de relatividad espacial y de lo que trata este artículo: De geometría euclidiana.

No es ningún secreto que Lovecraft amaba disparar adjetivos a diestro y siniestro en sus textos, era muy gráfico, ¿pero cómo es un espacio no euclídeo? Primero, ¿qué es un espacio euclídeo?

Un espacio, para ser considerado euclídeo, ha de cumplir estos cinco postulados:

1) Se puede trazar una recta entre dos puntos

2) Los segmentos pueden estirarse hacia cualquier sentido

3) Las circunferencias pueden trazarse en cualquier lugar con el centro situado donde se quiera y el radio que se quiera.

4) Todo ángulo recto ha de tener un sentido, una lógica.

5) Para un punto exterior a la recta sólo se puede trazar una paralela a la recta existente.

Pero claro, Euclídes vivió del 325 a.C. al 265 a.C. y desde entonces ha llovido mucho, sobre todo genios que desmenuzaron sus postulados y los estudiaron a fondo.De ese trabajo a fondo surgieron nuevas formas de geometrías como la riemanianna, que no cumple el quinto axioma ya que demuestra que no es sólo una recta, sino ninguna, la que se puede trazar a una paralela. Y luego la geometría hiperbólica, que muestra que son varias las rectas paralelas que pueden pasar por un punto exterior y tiene curvatura negativa. Tanto la geometría riemanniana como la hiperbólica son no euclídeas. ¡Qué magnífico trabajo mental imaginarse una realidad que no es como la vemos a diario!

Geometría hiperbólica

Como hemos visto antes, estos tipos de espacios sólo cumplen los cuatro primeros postulados de Euclídes. Uno de los postulados euclidianos es que todos los ángulos de un triángulo deberían sumar 180º, pero Lambert en el siglo XVIII demostró que en la geometría hiperbólica siempre sumaban menos de 180º (en π radianes). La diferencia entre el resultado y el total de 180º es proporcional al área del triángulo. Lambert formuló lo siguiente:

(π-(α+β+γ))=CAαβγ

α+β+γ son la suma de los ángulos del triángulo en radianes.

Aαβγ es el área del triángulo.

C es una constante de proporcionalidad relacionada con la curvatura del espacio.

Lo bello de esta geometría es que nace en un espacio curvado. Los cosmólogos creen que nuestro universo es un espacio tridimensional hiperbólico curvado en su cuarta dimensión. Dicho tipo de geometría resultó muy útil para desarrollar la Teoría General de la Relatividad. Además tiene otras aplicaciones como el empaquetamiento de esferas o las hermosas imágenes que nos aporta el modelizarlo como un espacio euclídeo. Escher, el artista, fue un genio en dando forma visual a estas ideas.

Un aspecto clave para comprender más a fondo la geometría hiperbólica es el axioma de Bolyai, que viene a ser el equivalente para el quinto postulado de Euclídes. Viene a decir que teniendo una recta “X” existente con un punto “F” externo a esta, existe una única recta que pase por “F” sin intersecar “X”. La llamada paralela a través de “F”.

No sabemos aún en qué tipo de espacio no-euclidiano pensaba Lovecraft cuando imaginaba R’lyeh, pero el simple hecho de suponer una torsión de la realidad hacia planos más curvados debería de llenar de terror a cualquier navegante perdido por aquella zona.

Geometría riemanniana

Sin duda alguna, este concepto es más complejo de imaginar que la geometría euclidiana (nuestra realidad) y que los espacios hiperbólicos. Se requiere del uso de tensores métricos y curvatura, variedades y conexiones. El uso de esta geometría y su derivada, la geometría de pseudo-riemann, son claves para estudiar la relatividad. La variedad pseudo-riemanniana ofrece una facilidad matemática asombrosa para el estudio del espacio-tiempo, ya que ofrece la posibilidad de realizar un modelo del espacio-tiempo como una variedad de dicho tipo, de manera que pueda interpretarse el espacio-tiempo como una conjunción de 3 dimensiones temporales y una cuarta dimensión temporal.

La definición matemática exacta de un espacio de Riemann es:

Rn= (Vn(gik))

Un espacio de Riemann está compuesto por un par formado por una variedad n-dimensional y una métrica. La ventaja de estos espacios es que son más generales que los espacios euclidianos típicos, ya que contienen los espacios euclídeos como una particularidad.

Para llegar a todo el conjunto de la geometría riemanniana se requieren de pequeños grandes pasos previos, como el cálculo de variedad diferenciable y los conceptos de métrica y curvatura seccional. Una variedad diferenciable es la generalización del concepto de superficie en R3. Gracias a los avances de Riemann, aparecen las ideas de Minkowski (y su posterior aplicación a la Teoría General de la Relatividad) basadas en la introducción en R4 de la métrica:

g=dx12+dx22+dx32-c2dt2

Y es aquí donde la relatividad especial se modeliza. Una serie de ideas, acontecimientos y personajes que con el peso y el avance de la historia, como un chicle enorme se van estirando desde el primer concepto como una suma o el cálculo de un área hasta una teoría tan compleja.

Es de hecho el espacio de Minkowski el que nos da la idea actual del espacio-tiempo, con sus tres dimensiones espaciales ordinarias y una temporal. Llegando más lejos, aún más lejos en la importancia del entendimiento de la geometría de los espacios y sus variables, vemos que la realidad que representa la gravedad es el tensor métrico de Riemann.

Tras este largo paseo por estos tipos de espacios aún no sabemos cómo imaginaba Lovecraft en su cabeza R’lyeh, y quizá nunca lo sepamos. ¿Una ciudad en medio del océano que retorcía las imágenes? ¿Un lugar en los que las dimensiones espaciales y la temporal se unían y engendraban algo realmente extraño? Lo que queda claro es que se puede encontrar algo en lo que pensar en cualquier parte de nuestra humilde historia cultural. Hay preguntas y conocimientos a raudales ahí fuera para aprender. Imaginad por otra parte qué seríamos hoy en día sin el trabajo de todas esas personas que simplemente quisieron saber un poco más sobre el funcionamiento de la vida y como nos es presentada. No debemos dejar de agradecer jamás el apetito que hemos tenido y tendremos por aprender como especie.

"La emoción más antigua y más intensa de la humanidad es el miedo, y el más antiguo y más intenso de los miedos es el miedo a lo desconocido."

H.P.Lovecraft